OLC 3×3×3 Algorithms

Home › Cubes › 3×3×3 › Stages › OLC
OLC

Orientation of Last Centers

127 cases

Loading...

This stage solves the centers of a Supercube or a Picture Cube after all other stages are completed

In general, you can learn and use the A, B, and C algorithms to solve any case, eventually in multiple steps.

Notation

Center orientation is denoted by the first letter of the corresponding cube face and graphically represented with specific colors for each type of quarter or half turn.

90° Turn
CW

Example:
u or u+

90° Turn
CCW

Example:
f' or f-

180° Turn
CW / CCW

Example:
r² or r++

1. Orientation of a Single Center 1 case

A1 u² u++

u²

R L U R' L' U2 R L U R' L' U2
R L U' R' L' U2 R L U' R' L' U2
Order
2
Symmetries
16→ M S RF LF y y' y2
Reverse Reverse+ any of the listed symmetries

2. Orientation of Two Centers 8 cases

B. Two Adjacent Centers 4 cases

B1 u f u+ f+

u f

R' L U D F U' D' R L' U2 F B U F' B' U2
R' L U' D' F U D R L' U2 F' B' U F B U2
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
B2 u' f' → M FU Reverse Reverse+ UF
B2 u' f' u- f-

u' f'

R' L U D F' U' D' R L' U2 F B U' F' B' U2
R' L U' D' F' U D R L' U2 F' B' U' F B U2
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
B1 u f → M FU Reverse Reverse+ UF
B3 u f' u+ f-

u f'

R L' F' B' U F B R' L U' D' F' U D
R L' F' B U F B' R' L U D' F' U' D
Order
4
Symmetries
4→ FU Reverse+ M Reverse+ UF
B4 u² f² u++ f++

u² f²

R L' F2 D2 B2 R' L U2 B2 D2
R L' B2 D2 F2 R' L D2 B2 U2
Order
2
Symmetries
8→ M FU UF
Reverse Reverse+ any of the listed symmetries

C. Two Opposite Centers 4 cases

C1 u d u+ d+

u d

R L U R L D' R L D R' L' D R' L' U' R' L' U
R' L' U' R' L' D R' L' D R L D' R L U R L U
Order
4
Symmetries
8→ y y' y2 Reverse+ any: M S x2 z2
Derivatives
C2 u' d' → M S RF LF Reverse Reverse+ any: y y' y2
C2 u' d' u- d-

u' d'

R L U R L D' R L D' R' L' D R' L' U' R' L' U'
R' L' U' R' L' D R' L' D' R L D' R L U R L U'
Order
4
Symmetries
8→ y y' y2 Reverse+ any: M S x2 z2
Derivatives
C1 u d → M S RF LF Reverse Reverse+ any: y y' y2
C3 u d' u+ d-

u d'

R L' F2 B2 R L' U R L' F2 B2 R L' D'
R' L F2 B2 R' L U R' L F2 B2 R' L D'
Order
4
Symmetries
16→ E y y' y2 Mx2 Ey Ey' Reverse+ any: M S RF LF x2 z2 FR FL
C4 u² d² u++ d++

u² d²

R L' F B' R' L U D' R' L F' B R L' U D'
R L' F' B R' L U' D R' L F B' R L' U' D
Order
2
Symmetries
24→ M E S RF LF y y2 y' x2 z2 Mx2 Reverse Reverse+ any of the listed symmetries

3. Orientation of Three Centers 13 cases

D. Three Adjacent Centers 5 cases

D1 u² f r u++ f+ r+

u² f r

R L U' D F' B R' L U2 L' F B' U D' R L' F
R' L U' D F B R F B' U D' R L' B' U2 F' B
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ RF
Derivatives
D2 u² f' r' → RF Reverse
D2 u² f' r' u++ f- r-

u² f' r'

R' L' F' R' L U' D F' B L U2 R L' F B' U D'
R' F' B' U D' R L' F B' U2 B R' L U' D F' B
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ RF
Derivatives
D1 u² f r → RF Reverse
D3 u² f r' u++ f+ r-

u² f r'

R' L F R L F R' L' B' U' D R' U D' F' B R2 U R' L' U
R L' F2 U' F B U' F B' R' F' B' R' F B L U D' F U' D
Order
4
Symmetries
2→ RF
Derivatives
D4 u² f' r → RF Reverse+ RF
D4 u² f' r u++ f- r+

u² f' r

R L' U' R L U' R2 F B' U' D R U D' B R L F' R' L' F'
R' L U D' F' U' D L' F' B' R F B R F' B U F' B' U F2
Order
4
Symmetries
2→ RF
Derivatives
D3 u² f r' → RF Reverse+ RF
D5 u² f² r² u++ f++ r++

u² f² r²

R L' B2 R L' D L U' B2 L2 F2 D' R' L' U2 R U
R L' U2 R' L F B' U2 R2 U2 F' U' D' F2 U D B
Order
2
Symmetries
12→ RF FU RU FUR RUF Reverse Reverse+ any of the listed symmetries

E. Three Same Layer Centers 8 cases

E1 u² f b u++ f+ b+

u² f b

R L' F R U' F' U' L D F D' R2 L B L' B' D B D'
R L' F U2 D2 R2 L2 B R L' U' R L' U2 D2 R' L U'
Order
4
Symmetries
4→ y2 Reverse+ M Reverse+ S
Derivatives
E2 u² f' b' → M S Reverse Reverse+ y2
E2 u² f' b' u++ f- b-

u² f' b'

R L' F' L' U F U R' D' F' D R' L2 B' R B D' B' D
R L' F' U2 D2 R2 L2 B' R L' U R L' U2 D2 R' L U
Order
4
Symmetries
4→ y2 Reverse+ M Reverse+ S
Derivatives
E1 u² f b → M S Reverse Reverse+ y2
E3 u² f b' u++ f+ b-

u² f b'

R L D2 R' L' U F' B' U2 F R L U2 D2 R' L' F U
R L D2 R' L' U' B' R L U2 D2 R' L' B' U2 F B U'
Order
4
Symmetries
4→ S Reverse+ M Reverse+ y2
E4 u f² b u+ f++ b+

u f² b

R' L F' B R' L U' D R L' U F' B R L' U D' B'
R' L U' D R L' F' B R L' B' U D' R' L F' B U
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
E5 u' f² b' → M Reverse
E5 u' f² b' u- f++ b-

u' f² b'

R' L F B' R' L U D' R L' U' F B' R L' U' D B
R' L U D' R L' F B' R L' B U' D R' L F B' U'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
E4 u f² b → M Reverse
E6 u f² b' u+ f++ b-

u f² b'

R L' B2 U D B' R L' F' B' D2 R' L U D R' L U' F' B'
R L' U2 B2 U D B U' D R2 L2 U2 F2 D2 R L' F' B U F B'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
E7 u' f² b → M Reverse
E7 u' f² b u- f++ b+

u' f² b

R L' B2 U' D' B R L' F B D2 R' L U' D' R' L U F B
R L' D2 F B R' L B U' D' B2 R' L F B U R L' U' D'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
E6 u f² b' → M Reverse
E8 u² f² b² u++ f++ b++

u² f² b²

R' L F2 D F' B' D2 F B D' B2 R L U D L2 U D
R' L F2 D' F B D2 F' B' D B2 R' L' U' D' R2 U' D'
Order
2
Symmetries
8→ M S y2 Reverse Reverse+ any of the listed symmetries

4. Orientation of Four Centers 38 cases

4a. Four Adjacent Centers 25 cases

F. Quarter Turns 10 cases

F1 u f r l u+ f+ r+ l+

u f r l

R' L F' B U D' R' F U D' F B' U' D R' L U' D L' U
R' L F' B U D' F B' U R' F B' U' D R' L F L' F' B
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
F2 u' f' r' l' → M FU Reverse
F2 u' f' r' l' u- f- r- l-

u' f' r' l'

R' L F B' U' D L F' U' D F' B U D' R' L U D' R U'
R' L F B' U' D F' B U' L F' B U D' R' L F' R F B'
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
F1 u f r l → M FU Reverse
F3 u f r' l' u+ f+ r- l-

u f r' l'

R' L F L' U D' F' B R L' U R' F B' U' D
R' L F' B U D' R' F R L' U' D F B' L' U
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
F4 u' f' r l → M FU Reverse
F4 u' f' r l u- f- r+ l+

u' f' r l

R' L F' R U' D F B' R L' U' L F' B U D'
R' L F B' U' D L F' R L' U D' F' B R U'
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
F3 u f r' l' → M FU Reverse
F5 u f' r l' u+ f- r+ l-

u f' r l'

R L' U' D F B' R L' F' U D' R' L F' B U
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ UF
Derivatives
F6 u' f r l' → M Reverse+ FU
F6 u' f r l' u- f+ r+ l-

u' f r l'

R L' U D' F' B R L' F U' D R' L F B' U'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ UF
Derivatives
F5 u f r' l' → M Reverse+ FU
F7 u f' r' l' u+ f- r- l-

u f' r' l'

R' L' U' D' F B' R L' D2 F' D2 L2 U D R' L' F' B U
R' L' U D R2 D2 F' D2 R' L F B' U' D' R' L' U F' B
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
F8 u' f r l → M Reverse
F8 u' f r l u- f+ r+ l+

u' f r l

R L U D F' B R L' D2 F D2 R2 U' D' R L F B' U'
R L U' D' L2 D2 F D2 R' L F' B U D R L U' F B'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
F7 u f' r' l' → M Reverse
F9 u f r l' u+ f+ r+ l-

u f r l'

R L F' B U' D' R U2 R2 F R2 U2 R' L' U D F B' L' U
R L F L' U D' F B R' L' F2 R2 U R2 F2 R F' B' U' D
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ FU
Derivatives
F10 u' f' r' l → FU Reverse
F10 u' f' r' l u- f- r- l+

u' f' r' l

R' L' U D' F B R' F2 R2 U' R2 F2 R L F' B' U' D L F'
R' L' U' L F' B U' D' R L U2 R2 F' R2 U2 R' U D F B'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ FU
Derivatives
F9 u f r l' → FU Reverse

G. Half Turns (Asymmetric) 8 cases

G1 u² f r² l u++ f+ r++ l+

u² f r² l

R' L F B' U' D F2 R L F R' L' F2 R2 U D' F' B R U2
F' B' L' B' L B L B L B' L' F2 U2 L2 D2 B R2 D2 L2
Order
4
Derivatives
G2 u² f' r² l' → Reverse
G5 u f² r² l → Reverse+ FU
G6 u' f² r² l' → FU
G2 u² f' r² l' u++ f- r++ l-

u² f' r² l'

R L' U2 R' F B' U' D R2 F2 R L F' R' L' F2 U D' F' B
F B L2 D2 R2 B' D2 L2 U2 F2 L B L' B' L' B' L' B L
Order
4
Derivatives
G1 u² f r² l → Reverse
G5 u f² r² l → FU
G6 u' f² r² l' → Reverse+ FU
G3 u² f r² l' u++ f+ r++ l-

u² f r² l'

R' L F R' L' U D' F' B R L' U2 R' F B' U' D
Order
4
Derivatives
G4 u² f' r² l → Reverse
G7 u f² r² l' → Reverse+ FU
G8 u' f² r² l → FU
G4 u² f' r² l u++ f- r++ l+

u² f' r² l

R' L F B' U' D R L F' R L' U D' F' B R U2
Order
4
Derivatives
G3 u² f r² l' → Reverse
G7 u f² r² l' → FU
G8 u' f² r² l → Reverse+ FU
G5 u f² r² l u+ f++ r++ l+

u f² r² l

R' L F2 R U' D F B' R2 U2 R' L' U R L U2 F' B U D'
U' D' L2 B2 R2 D B2 L2 F2 U2 L' D' L D L D L D' L'
Order
4
Derivatives
G6 u' f² r² l' → Reverse
G1 u² f r² l → Reverse+ FU
G2 u² f' r² l' → FU
G6 u' f² r² l' u- f++ r++ l-

u' f² r² l'

R L' U' D F B' U2 R' L' U' R L U2 R2 F' B U D' R' F2
U D L D L' D' L' D' L' D L U2 F2 L2 B2 D' R2 B2 L2
Order
4
Derivatives
G5 u f² r² l → Reverse
G1 u² f r² l → FU
G2 u² f' r² l' → Reverse+ FU
G7 u f² r² l' u+ f++ r++ l-

u f² r² l'

R L' U' D F B' R' L' U R' L F' B U D' R' F2
Order
4
Derivatives
G8 u' f² r² l → Reverse
G3 u² f r² l' → Reverse+ FU
G4 u² f' r² l → FU
G8 u' f² r² l u- f++ r++ l+

u' f² r² l

R L' U' R L F' B U D' R' L F2 R U' D F B'
Order
4
Derivatives
G7 u f² r² l' → Reverse
G3 u² f r² l' → FU
G4 u² f' r² l → Reverse+ FU

H. Half Turns (Symmetric) 7 cases

H1 u² f² r l u++ f++ r+ l+

u² f² r l

R' L F' R' F2 R F R B U2 B D2 F2 R F2 D2 B2
R L' U' L' U2 L U L D F2 D B2 U2 L U2 B2 D2
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
H2 u² f² r' l' → M FU Reverse Reverse+ UF
H2 u² f² r' l' u++ f++ r- l-

u² f² r' l'

R' L F L F2 L' F' L' B' U2 B' D2 F2 L' F2 D2 B2
R L' U R U2 R' U' R' D' F2 D' B2 U2 R' U2 B2 D2
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
H1 u² f² r l → M FU Reverse Reverse+ UF
H3 u² f² r l' u++ f++ r+ l-

u² f² r l'

R L' F B' U2 F' B R' U D' F2 B2 U D' R U D' B2 U D'
R L' F' B U2 F B' L U' D F2 B2 U' D L' U' D B2 U' D
Order
4
Symmetries
4→ M Reverse+ FU Reverse+ UF
H4 u f r² l² u+ f+ r++ l++

u f r² l²

R2 L2 U R2 B2 D F B' U' D' R2 D2 F U D' F' B' D'
R2 L2 F L2 D2 B U D' F' B' L2 B2 U F B' U' D' B'
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
H5 u' f' r² l² → M FU Reverse Reverse+ UF
H5 u' f' r² l² u- f- r++ l++

u' f' r² l²

R2 L2 U' L2 B2 D' F' B U D L2 D2 F' U' D F B D
R2 L2 F' R2 D2 B' U' D F B R2 B2 U' F' B U D B
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
H4 u f r² l² → M FU Reverse Reverse+ UF
H6 u f' r² l² u+ f- r++ l++

u f' r² l²

R L' F' B D F B' R L' F B' U D' F' B U D' F' U' D
R' L F B' D F' B R' L U' D F' U D' F' B U D' F B'
Order
4
Symmetries
4→ FU Reverse+ M Reverse+ UF
H7 u² f² r² l² u++ f++ r++ l++

u² f² r² l²

R L' F' B U2 F B' R' L' U D' F2 B2 R2 U' D B2
R L' F B' U2 F' B R L U' D F2 B2 L2 U D' B2
Order
4
Symmetries
8→ M FU UF Reverse Reverse+ any of the listed symmetries

4b. Four Same Layer Centers 13 cases

I. Quarter Turns 6 cases

I1 u d f b u+ d+ f+ b+

u d f b

R L' F B' R L' U' D R' L U D F B' R' L U D' F' B'
R L' F B' R' L U D' R' L U' D' F' B R L' U D' F B
R L' F B' U' D' R L' U' D R' L F B' R' L F B U D'
R L' F B' U D R' L U D' R' L F' B R L' F' B' U D'
R L' F' B R L' U D' R' L U D F' B R' L U' D F' B'
R L' F' B R' L U' D R' L U' D' F B' R L' U' D F B
R L' F' B U D R' L U' D R' L F B' R L' F' B' U' D
R L' F' B U' D' R L' U D' R' L F' B R' L F B U' D
R L' U D' R L' F B' R' L F B U D' R' L F' B U' D'
R L' U D' R' L F' B R' L F' B' U' D R L' F' B U D
R L' U D' F B R' L F' B R' L U' D R L' U' D' F' B
R L' U D' F' B' R L' F B' R' L U D' R' L U D F' B
R L' U' D R L' F' B R' L F B U' D R' L F B' U' D'
R L' U' D R' L F B' R' L F' B' U D' R L' F B' U D
R L' U' D F B R' L F B' R' L U D' R L' U' D' F B'
R L' U' D F' B' R L' F' B R' L U' D R' L U D F B'
R' L F B' R L' U' D R L' U' D' F' B R' L U' D F B
R' L F B' R' L U D' R L' U D F B' R L' U' D F' B'
R' L F B' U D R L' U' D R L' F' B R' L F' B' U' D
R' L F B' U' D' R' L U D' R L' F B' R L' F B U' D
R' L F' B R L' U D' R L' U' D' F B' R' L U D' F B
R' L F' B R' L U' D R L' U D F' B R L' U D' F' B'
R' L F' B U D R L' U D' R L' F B' R' L F' B' U D'
R' L F' B U' D' R' L U' D R L' F' B R L' F B U D'
R' L U D' R L' F B' R L' F' B' U' D R' L F B' U D
R' L U D' R' L F' B R L' F B U D' R L' F B' U' D'
R' L U D' F B R L' F B' R L' U' D R' L U' D' F B'
R' L U D' F' B' R' L F' B R L' U D' R L' U D F B'
R' L U' D R L' F' B R L' F' B' U D' R' L F' B U D
R' L U' D R' L F B' R L' F B U' D R L' F' B U' D'
R' L U' D F B R L' F' B R L' U D' R' L U' D' F' B
R' L U' D F' B' R' L F B' R L' U' D R L' U D F' B
R2 L2 F2 U F2 D2 B U2 R2 L2 D2 F U2 B2 D B2
R2 L2 B2 U B2 D2 F U2 R2 L2 D2 B U2 F2 D F2
R2 L2 F2 D F2 U2 B D2 R2 L2 U2 F D2 B2 U B2
R2 L2 B2 D B2 U2 F D2 R2 L2 U2 B D2 F2 U F2
R2 L2 U2 F U2 B2 D F2 R2 L2 B2 U F2 D2 B D2
R2 L2 D2 F D2 B2 U F2 R2 L2 B2 D F2 U2 B U2
R2 L2 U2 B U2 F2 D B2 R2 L2 F2 U B2 D2 F D2
R2 L2 D2 B D2 F2 U B2 R2 L2 F2 D B2 U2 F U2
R2 L2 F2 U' B2 D2 F' D2 R2 L2 U2 B' U2 F2 D' B2
R2 L2 B2 U' F2 D2 B' D2 R2 L2 U2 F' U2 B2 D' F2
R2 L2 F2 D' B2 U2 F' U2 R2 L2 D2 B' D2 F2 U' B2
R2 L2 B2 D' F2 U2 B' U2 R2 L2 D2 F' D2 B2 U' F2
R2 L2 U2 F' D2 B2 U' B2 R2 L2 F2 D' F2 U2 B' D2
R2 L2 D2 F' U2 B2 D' B2 R2 L2 F2 U' F2 D2 B' U2
R2 L2 U2 B' D2 F2 U' F2 R2 L2 B2 D' B2 U2 F' D2
R2 L2 D2 B' U2 F2 D' F2 R2 L2 B2 U' B2 D2 F' U2
Order
4
Symmetries
16→ x x2 x' y2 z2 UF UB Reverse+ any: M E S FU BU Mx Mx2 Mx'
Derivatives
I2 u' d' f' b' → M E S FU BU Mx Mx2 Mx' Reverse Reverse+ any: x x2 x' y2 z2 UF UB
I2 u' d' f' b' u- d- f- b-

u' d' f' b'

R L' F B' R L' U' D R' L U' D' F B' R' L U D' F B
R L' F B' R' L U D' R' L U D F' B R L' U D' F' B'
R L' F B' U' D' R' L U D' R' L F' B R L' F B U D'
R L' F B' U D R L' U' D R' L F B' R' L F' B' U D'
R L' F' B R L' U D' R' L U' D' F' B R' L U' D F B
R L' F' B R' L U' D R' L U D F B' R L' U' D F' B'
R L' F' B U D R L' U D' R' L F' B R' L F' B' U' D
R L' F' B U' D' R' L U' D R' L F B' R L' F B U' D
R L' U D' R L' F B' R' L F' B' U D' R' L F' B U D
R L' U D' R' L F' B R' L F B U' D R L' F' B U' D'
R L' U D' F B R L' F B' R' L U D' R' L U' D' F' B
R L' U D' F' B' R' L F' B R' L U' D R L' U D F' B
R L' U' D R L' F' B R' L F' B' U' D R' L F B' U D
R L' U' D R' L F B' R' L F B U D' R L' F B' U' D'
R L' U' D F B R L' F' B R' L U' D R' L U' D' F B'
R L' U' D F' B' R' L F B' R' L U D' R L' U D F B'
R' L F B' R L' U' D R L' U D F' B R' L U' D F' B'
R' L F B' R' L U D' R L' U' D' F B' R L' U' D F B
R' L F B' U D R' L U D' R L' F B' R L' F' B' U' D
R' L F B' U' D' R L' U' D R L' F' B R' L F B U' D
R' L F' B R L' U D' R L' U D F B' R' L U D' F' B'
R' L F' B R' L U' D R L' U' D' F' B R L' U D' F B
R' L F' B U D R' L U' D R L' F' B R L' F' B' U D'
R' L F' B U' D' R L' U D' R L' F B' R' L F B U D'
R' L U D' R L' F B' R L' F B U' D R' L F B' U' D'
R' L U D' R' L F' B R L' F' B' U D' R L' F B' U D
R' L U D' F B R' L F' B R L' U D' R L' U' D' F B'
R' L U D' F' B' R L' F B' R L' U' D R' L U D F B'
R' L U' D R L' F' B R L' F B U D' R' L F' B U' D'
R' L U' D R' L F B' R L' F' B' U' D R L' F' B U D
R' L U' D F B R' L F B' R L' U' D R L' U' D' F' B
R' L U' D F' B' R L' F' B R L' U D' R' L U D F' B
R2 L2 F2 U B2 D2 F D2 R2 L2 U2 B U2 F2 D B2
R2 L2 F2 D B2 U2 F U2 R2 L2 D2 B D2 F2 U B2
R2 L2 B2 U F2 D2 B D2 R2 L2 U2 F U2 B2 D F2
R2 L2 B2 D F2 U2 B U2 R2 L2 D2 F D2 B2 U F2
R2 L2 U2 F D2 B2 U B2 R2 L2 F2 D F2 U2 B D2
R2 L2 U2 B D2 F2 U F2 R2 L2 B2 D B2 U2 F D2
R2 L2 D2 F U2 B2 D B2 R2 L2 F2 U F2 D2 B U2
R2 L2 D2 B U2 F2 D F2 R2 L2 B2 U B2 D2 F U2
R2 L2 F2 U' F2 D2 B' U2 R2 L2 D2 F' U2 B2 D' B2
R2 L2 B2 U' B2 D2 F' U2 R2 L2 D2 B' U2 F2 D' F2
R2 L2 F2 D' F2 U2 B' D2 R2 L2 U2 F' D2 B2 U' B2
R2 L2 B2 D' B2 U2 F' D2 R2 L2 U2 B' D2 F2 U' F2
R2 L2 U2 F' U2 B2 D' F2 R2 L2 B2 U' F2 D2 B' D2
R2 L2 D2 B' D2 F2 U' B2 R2 L2 F2 D' B2 U2 F' U2
R2 L2 D2 F' D2 B2 U' F2 R2 L2 B2 D' F2 U2 B' U2
R2 L2 U2 B' U2 F2 D' B2 R2 L2 F2 U' B2 D2 F' D2
Order
4
Symmetries
16→ x x2 x' y2 z2 UF UB Reverse+ any: M E S FU BU Mx Mx2 Mx'
Derivatives
I1 u d f b → M E S FU BU Mx Mx2 Mx' Reverse Reverse+ any: x x2 x' y2 z2 UF UB
I3 u d' f b' u+ d- f+ b-

u d' f b'

R L' U D F B' U' D' R' L F B U D' F' B'
R L' U D' F B' U' D R' L F B' U D' F' B
Order
4
Symmetries
8→ BU UF Mx2 Reverse+ any: M FU x2 UB
I4 u d f' b' u+ d+ f- b-

u d f' b'

R L' F B U D F' B' R' L U D F' B' U' D'
R L' F B' U D F' B R' L U' D F' B' U D'
Order
4
Symmetries
16→ FU BU x2 y2 z2 Mx Mx' Reverse+ any: M E S x x' UF UB Mx2
I5 u d' f' b' u+ d- f- b-

u d' f' b'

R L F2 R' L' B U D F2 D2 F B' U' D F B' U D' F
R L B2 R' L' F U D B2 D2 F' B U' D F' B U D' B
Order
4
Symmetries
4→ y2 Reverse+ M Reverse+ S
Derivatives
I6 u' d f b → M S Reverse Reverse+ y2
I6 u' d f b u- d+ f+ b+

u' d f b

R L F2 R' L' F' U' D F' B U D' F' B D2 F2 U' D' B'
R L B2 R' L' B' U' D F B' U D' F B' D2 B2 U' D' F'
Order
4
Symmetries
4→ y2 Reverse+ M Reverse+ S
Derivatives
I5 u d' f' b' → M S Reverse Reverse+ y2

J. Half Turns 7 cases

J1 u² d f² b u++ d+ f++ b+

u² d f² b

R L' F' B D F B D2 F2 R' L U' D B U D B2 U2
R L' F' B D F' B' D2 B2 R' L U' D B U' D' B2 D2
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
J2 u² d' f² b' → M FU Reverse Reverse+ UF
J2 u² d' f² b' u++ d- f++ b-

u² d' f² b'

R L' F B' D' F B D2 B2 R' L U D' B' U D B2 D2
R L' F B' D' F' B' D2 F2 R' L U D' B' U' D' B2 U2
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
J1 u² d f² b → M FU Reverse Reverse+ UF
J3 u² d f² b' u++ d+ f++ b-

u² d f² b'

R L' F B U2 D F' B' R' L U D F2 B' U' D'
R L' F' B' U2 D F B R' L U' D' F2 B' U D
Order
4
Symmetries
4→ FU Reverse+ M Reverse+ UF
J4 u² d² f b u++ d++ f+ b+

u² d² f b

R L U2 D2 F2 R' L' B' U D' R2 U D F2 B2 R2 U2 F
R L U2 D2 F2 R' L' B' U' D L2 U D F2 B2 L2 D2 F
Order
4
Symmetries
8→ x2 y2 z2 Reverse+ any: M E S Mx2
Derivatives
J5 u² d² f' b' → M E S Mx2 Reverse Reverse+ any: x2 y2 z2
J5 u² d² f' b' u++ d++ f- b-

u² d² f' b'

R L F2 U2 D2 R' L' F' U2 R2 F2 B2 U' D' R2 U' D B
R L F2 U2 D2 R' L' F' D2 L2 F2 B2 U' D' L2 U D' B
Order
4
Symmetries
8→ x2 y2 z2 Reverse+ any: M E S Mx2
Derivatives
G& u² d² f b → M E S Mx2 Reverse Reverse+ any: x2 y2 z2
J6 u² d² f b' u++ d++ f b-

u² d² f b'

R L' F' B R2 L2 F' B R' L F' U D' R2 L2 U D' B
R L' F' B R2 L2 F' B R' L B U D' R2 L2 U D' F'
Order
4
Symmetries
8→ S z2 Mx2 Reverse+ any: M E x2 y2
J7 u² d² f² b² u++ d++ f++ b++

u² d² f² b²

R L F B R L U D R L F B R L U D
R' L' F' B' R' L' U' D' R' L' F' B' R' L' U' D'
Order
4
Symmetries
32→ M E S FU BU x x2 x' y2 z2 UF UB Mx Mx2 Mx' Reverse+ any of the listed symmetries

5. Orientation of Five Centers 34 cases

5a. Single Half Turn 22 cases

K. Single Half Turn u++ 6 cases

K1 u² f b r l u++ f+ b+ r+ l+

u² f b r l

R L' F' B R' L F' B U2 B2 D2 L F B R2 F' B' R' F' B D2
R' L F B' R L' F B' U2 F2 D2 R F B L2 F' B' L' F B' D2
Order
4
Symmetries
8→ y y2 y' Reverse+ any: M S RF LF
Derivatives
K2 u² f b r l → M S RF Reverse+ any: y y2 y'
K2 u² f' b' r' l' u++ f- b- r- l-

u² f' b' r' l'

R L' F B' R' L F B' U2 B2 D2 R' F' B' L2 F B L F B' D2
R' L F' B R L' F' B U2 F2 D2 L' F' B' R2 F B R F' B D2
Order
4
Symmetries
8→ y y2 y' Reverse+ any: M S RF LF
Derivatives
K1 u² f' b' r' l' → M S RF Reverse+ any: y y2 y'
K3 u² f b r' l' u++ f+ b+ r- l-

u² f b r' l'

R' L' F' U2 B' R' L' U2 D F B U2 L U2 R U2 F B D'
R' L' F' U2 B' R' L' D' F B U2 R U2 L U2 F B U2 D
Order
4
Symmetries
8→ RF LF y2 Reverse+ any: M S y y'
K4 u² f b' r l' u++ f+ b- r+ l-

u² f b' r l'

R L' F B' R' L F2 U2 F' B' R L' F' R L B2 R' L' B'
R L' F B' R' L B2 U2 F B R L' F' R' L' B2 R L B'
Order
4
Symmetries
4→ LF Reverse+ RF Reverse+ y2
K5 u² f b' r' l' u++ f+ b- r+ l+

u² f b' r' l'

R L' U' D F B' U2 R' L F' B U D' R' L' F B'
R L' U2 F B' U' D R' L F B' R' L' U D' F' B
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
K6 u² f' b r l → M Reverse
K6 u² f' b r l u++ f- b+ r- l-

u² f' b r l

R' L F2 R2 F B R L' F' B R' L' U2 L2 F B'
R' L F B L2 F2 R L' F B' R2 U2 R' L' F' B
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
K5 u² f b' r' l' → M Reverse

L. Single Half Turn f++ (Symmetric) 8 cases

L1 u f² b r l u+ f++ b+ r+ l+

u f² b r l

R L U' D' F' B R' L U2 B' U' D R L F B L2 F2 U
R L U D F B' R' L D2 B' U D' R L' F2 D2 F' B' U'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
L2 u' f² b' r' l' → M Reverse
L2 u' f² b' r' l' u- f++ b- r- l-

u' f² b' r' l'

R' L' U D F B' R' L U2 B U D' R' L' F' B' R2 F2 U'
R' L' U' D' F' B R' L D2 B U' D R L' F2 D2 F B U
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
L1 u f² b r l → M Reverse
L3 u f² b r' l' u+ f++ b+ r- l-

u f² b r' l'

R L' B2 U B2 R2 F B R L U D' B' R' L' F B U' D
R L' F2 U2 F' B' U' B2 R' L U' D F B R' L' B' U D'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
L4 u' f² b' r l → M Reverse
L4 u' f² b' r l u- f++ b- r+ l+

u' f² b' r l

R L' F2 U2 F B U B2 R' L U D' F' B' R L B U' D
R L' B2 U F B U2 F2 R' L U' D B R L F' B' U D'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
L3 u' f² b' r l→ M Reverse
L5 u f² b' r l u+ f++ b- r+ l+

u f² b' r l

R L F' B U' D R L' F2 U F B' R' L U D' B'
R' L U' D F' B R L B' U D' R L' F B' U F2
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
L6 u' f² b r' l' → M Reverse
L6 u' f² b r' l' u- f++ b+ r- l-

u' f² b r' l'

R' L' F B' U D' R L' F2 U' F' B R' L U' D B
R' L U D' F B' R' L' B U' D R L' F' B U' F2
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
L5 u' f² b r' l' → M Reverse
L7 u f² b' r' l' u+ f++ b+ r+ l-

u f² b' r' l'

R L' F B' U D' L' B U' D F B' U' D R' L U D' R' U
R' L U L' U D' R L' U' D F B' U' D B R' U D' F B'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
L8 u' f² b r l → M Reverse
L8 u' f² b r l u- f++ b- r- l+

u' f² b r l

R L' F' B U' D R B' U D' F' B U D' R' L U' D L U'
R' L U' R U' D R L' U D' F' B U D' B' L U' D F' B
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
L7 u f² b' r' l' → M Reverse

M. Single Half Turn f++ (Asymmetric) 8 cases

M1 u f² b' r l' u+ f++ b- r+ l-

u f² b' r l'

R' L B R2 U2 L U D F' B R' L' U R F' B' L2 B2 U D'
R' L' F2 R2 F' B U' D R L' U' F' B' U2 F2 R' L U D' B'
Order
4
Derivatives
M2 u' f² b r' l → Reverse
M3 u f² b' r' l → Reverse+ M
M4 u' f² b r l' → M
M2 u' f² b r' l u- f++ b+ r- l+

u' f² b r' l

R L' F2 U2 F B U R' L U D' F B' R2 F2 R L B U' D
U' D B2 L2 F B R' U' R L F B' U' D' L' U2 R2 B' R L'
Order
4
Derivatives
M1 u f² b' r l' → Reverse
M3 u f² b' r' l → M
M4 u' f² b r l' → Reverse+ M
M3 u f² b' r' l u+ f++ b- r- l+

u f² b' r' l

R L' U D' B2 R2 F' B' L U R' L' F' B U D R U2 L2 B
R' L U' D F' B L2 F2 R' L' B' U D' R L' F2 U2 F' B' U'
Order
4
Derivatives
M4 u' f² b r l' → Reverse
M1 u f² b' r l' → Reverse+ M
M2 u' f² b r' l → M
M4 u' f² b r l' u- f++ b+ r+ l-

u' f² b r l'

R L F2 L2 F B' U D' R L' U F B U2 F2 R' L U' D B
R' L B' L2 U2 R' U' D' F B' R L U' L' F B R2 B2 U' D
Order
4
Derivatives
M3 u f² b' r' l → Reverse
M1 u f² b' r l' → M
M2 u' f² b r' l → Reverse+ M
M5 u f² b r l' u+ f++ b+ r- l+

u f² b r l'

R L' F B' U D' R L' U F' B R' L U' D F2 B
R L' F B' U D' L' F2 B R' L U' D F' B R U
Order
4
Derivatives
M6 u' f² b' r' l → Reverse
M7 u f² b r' l → M
M8 u' f² b' r l' → Reverse+ M
M6 u' f² b' r' l u- f++ b- r+ l-

u' f² b' r' l

R L' F2 B' L U' D F' B R' L U' R' F B' U D'
R L' F B' U' R' L U' D F' B R' L F2 B' U D'
Order
4
Derivatives
M5 u f² b r l' → Reverse
M7 u f² b r' l → Reverse+ M
M8 u' f² b' r l' → M
M7 u f² b r' l u+ f++ b+ r- l+

u f² b r' l

R' L U L F' B U' D R L' F2 B R' U D' F B'
R' L F2 B U' D R L' F' B U R' L U D' F B'
Order
4
Derivatives
M8 u' f² b' r l' → Reverse
M5 u f² b r l' → M
M6 u' f² b' r' l → Reverse+ M
M8 u' f² b' r l' u- f++ b- r- l-

u' f² b' r l'

R L' F' B U' D R L' U' F B' R' L U D' F2 B'
R L' F' B U' D R F2 B' R' L U D' F B' L' U'
Order
4
Derivatives
M7 u f² b r' l → Reverse
M5 u f² b r l' → Reverse+ M
M6 u' f² b' r' l → M

5b. Multiple Half Turns 12 cases

N. Multiple Half Turns (Asymmetric) 4 cases

N1 u² f² b r² l u++ f++ b+ r++ l+

u² f² b r² l

R L U' D F B' R L' U2 R F' B U D' R' L F2 B
R L' U' D F B R2 L F' B U D' R' L F U2 F B'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ RF
Derivatives
N2 u² f² b' r² l' → RF Reverse
N2 u² f² b' r² l' u++ f++ b- r++ l-

u² f² b' r² l'

R L' U' D F B' R2 L' F' B' U D' R' L F' B U2 F'
R L' U' D F B' R' U2 R' L F' B U D' R' L' F2 B'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ RF
Derivatives
N1 u² f² b r² l → RF Reverse
N3 u² f² b r² l' u++ f++ b+ r++ l-

u² f² b r² l'

R' L D2 F B U D R' L B' R' L' U' D L2 F B R U2
F B' D2 R' L' U' D' F B' L F B U D' B2 R' L' F' U2
Order
4
Symmetries
2→ RF
Derivatives
N4 u² f² b' r² l → Reverse Reverse+ RF
N4 u² f² b' r² l u++ f++ b- r++ l+

u² f² b' r² l

R L' U2 R' F' B' L2 U D' R L B R L' U' D' F' B' D2
F' B U2 F R L B2 U' D F' B' L' F' B U D R L D2
Order
4
Symmetries
2→ RF
Derivatives
N3 u² f² b r² l' → Reverse Reverse+ RF

O. Multiple Half Turns (Symmetric) 8 cases

O1 u² f² b² r l u++ f++ b++ r+ l+

u² f² b² r l

R L' F B' U D' L2 U D' F' B L U' D F2 B2 U' D L' U2
R' L F' B U D' R2 U D' F B' R U' D F2 B2 U' D R' U2
Order
4
Symmetries
4→ y2 Reverse+ M Reverse+ S
Derivatives
O2 u² f² b² r' l' → M S Reverse Reverse+ y2
O2 u² f² b² r' l' u++ f++ b++ r- l-

u² f² b² r' l'

R L' F' B U' D R2 U' D F B' R' U D' F2 B2 U D' R U2
R' L F B' U' D L2 U' D F' B L' U D' F2 B2 U D' L U2
Order
4
Symmetries
4→ y2 Reverse+ M Reverse+ S
Derivatives
O1 u² f² b² r l → M S Reverse Reverse+ y2
O3 u² f² b² r l' u++ f++ b++ r+ l-

u² f² b² r l'

R' L' U2 R' U' D F2 B2 U' D R' D' F' B' U2 F B D'
R L U2 L U D' F2 B2 U D' L D F B U2 F' B' D
Order
4
Symmetries
4→ M Reverse+ S Reverse+ y2
O4 u f² b r² l² u+ f++ b++ r+ l++

u f² b r² l²

R L' U D' F B' R2 L2 F' U' D R' L F B' U F B'
R L' U' D F' R2 L2 F B' U D' R' L F B' U F B'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
O5 u' f² b' r² l² → M Reverse
O5 u' f² b' r² l² u- f++ b++ r- l++

u' f² b' r² l²

R L' U D' F R2 L2 F' B U' D R' L F' B U' F' B
R L' U' D F' B R2 L2 F U D' R' L F' B U' F' B
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
O4 u f² b r² l² → M Reverse
O6 u f² b' r² l² u+ f++ b++ r- l++

u f² b' r² l²

R L' U' D F B' R' U' R' L' U2 L2 F' B U D' R' F' B' L2 F'
R' L F' R2 F' B' L' U D' F' B R2 U2 R' L' U' L' F B' U' D
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
O7 u' f² b r² l² → M Reverse
O7 u' f² b r² l² u- f++ b++ r+ l++

u' f² b r² l²

R L' U D' F' B L U R L U2 R2 F B' U' D L F B R2 F
R' L F L2 F B R U' D F B' L2 U2 R L U R F' B U D'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
O6 u f² b' r² l² → M Reverse
O8 u² f² b² r² l² u++ f++ b++ r++ l++

u² f² b² r² l²

R L U2 R L D F' B' U2 F B U F2 B2 U D'
R' L' U2 R' L' D' F B U2 F' B' U' F2 B2 U' D
Order
4
Symmetries
16→ M S RF LF y y2 y' Reverse Reverse+ all mentioned symmetries

6. Orientation of All Six Centers 33 cases

P. Quarter Turns 10 cases

P1 u d f b r l u+ d+ f+ b+ r+ l+

u d f b r l

R L F R D F R F' U' B R U L U' F R U B' U' L' U' F' U' B
R L F L U F L F' D' B L D R D' F L D B' D' R' D' F' D' B
R L F U' B' U' L' U' F' U R B U' L U R F U' B' R B D R B
R L F D' B' D' R' D' F' D L B D' R D L F D' B' L B U L B
R L B R U B R B' D' F R D L D' B R D F' D' L' D' B' D' F
R L B L D B L B' U' F L U R U' B L U F' U' R' U' B' U' F
R L B U' F' U' R' U' B' U L F U' R U L B U' F' L F D L F
R L B D' F' D' L' D' B' D R F D' L D R B D' F' R F U R F
R L U R F U R U' B' D R B L B' U R B D' B' L' B' U' B' D
R L U L B U L U' F' D L F R F' U L F D' F' R' F' U' F' D
R L U F' D' F' R' F' U' F L D F' R F L U F' D' L D B L D
R L U B' D' B' L' B' U' B R D B' L B R U B' D' R D F R D
R L D R B D R D' F' U R F L F' D R F U' F' L' F' D' F' U
R L D L F D L D' B' U L B R B' D L B U' B' R' B' D' B' U
R L D F' U' F' L' F' D' F R U F' L F R D F' U' R U B R U
R L D B' U' B' R' B' D' B L U B' R B L D B' U' L U F L U
F B R B D R B R' U' L B U F U' R B U L' U' F' U' R' U' L
F B R F U R F R' D' L F D B D' R F D L' D' B' D' R' D' L
F B R U' L' U' F' U' R' U B L U' F U B R U' L' B L D B L
F B R D' L' D' B' D' R' D F L D' B D F R D' L' F L U F L
F B L F D L F L' U' R F U B U' L F U R' U' B' U' L' U' R
F B L B U L B L' D' R B D F D' L B D R' D' F' D' L' D' R
F B L U' R' U' B' U' L' U F R U' B U F L U' R' F R D F R
F B L D' R' D' F' D' L' D B R D' F D B L D' R' B R U B R
F B U F L U F U' R' D F R B R' U F R D' R' B' R' U' R' D
F B U B R U B U' L' D B L F L' U B L D' L' F' L' U' L' D
F B U R' D' R' B' R' U' R F D R' B R F U R' D' F D L F D
F B U L' D' L' F' L' U' L B D L' F L B U L' D' B D R B D
F B D F R D F D' L' U F L B L' D F L U' L' B' L' D' L' U
F B D B L D B D' R' U B R F R' D B R U' R' F' R' D' R' U
F B D R' U' R' F' R' D' R B U R' F R B D R' U' B U L B U
F B D L' U' L' B' L' D' L F U L' B L F D L' U' F U R F U
U D R F' L' F' D' F' R' F U L F' D F U R F' L' U L B U L
U D R B' L' B' U' B' R' B D L B' U B D R B' L' D L F D L
U D R U B R U R' F' L U F D F' R U F L' F' D' F' R' F' L
U D R D F R D R' B' L D B U B' R D B L' B' U' B' R' B' L
U D L F' R' F' U' F' L' F D R F' U F D L F' R' D R B D R
U D L B' R' B' D' B' L' B U R B' D B U L B' R' U R F U R
U D L U F L U L' B' R U B D B' L U B R' B' D' B' L' B' R
U D L D B L D L' F' R D F U F' L D F R' F' U' F' L' F' R
U D F R' B' R' U' R' F' R D B R' U R D F R' B' D B L D B
U D F L' B' L' D' L' F' L U B L' D L U F L' B' U B R U B
U D F U R F U F' L' B U L D L' F U L B' L' D' L' F' L' B
U D F D L F D F' R' B D R U R' F D R B' R' U' R' F' R' B
U D B R' F' R' D' R' B' R U F R' D R U B R' F' U F L U F
U D B L' F' L' U' L' B' L D F L' U L D B L' F' D F R D F
U D B U L B U B' R' F U R D R' B U R F' R' D' R' B' R' F
U D B D R B D B' L' F D L U L' B D L F' L' U' L' B' L' F
R U2 F2 D2 B U2 R2 L2 D2 F' L F2 U2 B2 D F2 R2 L2 B2 U'
R D2 B2 U2 F D2 R2 L2 U2 B' L B2 D2 F2 U B2 R2 L2 F2 D'
R' F2 U2 D2 B2 L F2 R2 B2 U B' L2 U2 D2 R2 F L2 B2 R2 D
R' B2 U2 D2 F2 L B2 R2 F2 D F' L2 U2 D2 R2 B L2 F2 R2 U
R' U2 F2 B2 D2 L U2 R2 D2 B D' L2 F2 B2 R2 U L2 D2 R2 F
R' D2 F2 B2 U2 L D2 R2 U2 F U' L2 F2 B2 R2 D L2 U2 R2 B
L U2 B2 D2 F U2 R2 L2 D2 B' R B2 U2 F2 D B2 R2 L2 F2 U'
L D2 F2 U2 B D2 R2 L2 U2 F' R F2 D2 B2 U F2 R2 L2 B2 D'
L' F2 U2 D2 B2 R F2 L2 B2 D B' R2 U2 D2 L2 F R2 B2 L2 U
L' B2 U2 D2 F2 R B2 L2 F2 U F' R2 U2 D2 L2 B R2 F2 L2 D
L' U2 F2 B2 D2 R U2 L2 D2 F D' R2 F2 B2 L2 U R2 D2 L2 B
L' D2 F2 B2 U2 R D2 L2 U2 B U' R2 F2 B2 L2 D R2 U2 L2 F
F L2 D2 R2 U L2 F2 B2 R2 D' B D2 L2 U2 R D2 F2 B2 U2 L'
F R2 U2 L2 D R2 F2 B2 L2 U' B U2 R2 D2 L U2 F2 B2 D2 R'
F' U2 R2 L2 D2 B U2 F2 D2 R D' B2 R2 L2 F2 U B2 D2 F2 L
F' D2 R2 L2 U2 B D2 F2 U2 L U' B2 R2 L2 F2 D B2 U2 F2 R
B R2 D2 L2 U R2 F2 B2 L2 D' F D2 R2 U2 L D2 F2 B2 U2 R'
B L2 U2 R2 D L2 F2 B2 R2 U' F U2 L2 D2 R U2 F2 B2 D2 L'
B' U2 R2 L2 D2 F U2 B2 D2 L D' F2 R2 L2 B2 U F2 D2 B2 R
B' D2 R2 L2 U2 F D2 B2 U2 R U' F2 R2 L2 B2 D F2 U2 B2 L
U R2 B2 L2 F R2 U2 D2 L2 B' D B2 R2 F2 L B2 U2 D2 F2 R'
U F2 R2 B2 L F2 U2 D2 B2 R' D R2 F2 L2 B R2 U2 D2 L2 F'
D F2 L2 B2 R F2 U2 D2 B2 L' U L2 F2 R2 B L2 U2 D2 R2 F'
D L2 B2 R2 F L2 U2 D2 R2 B' U B2 L2 F2 R B2 U2 D2 F2 L'
Order
4
Symmetries
48 → all 23 Rotations Reverse+ all 9 Reflections Reverse+ all 15 Rotoreflections
Derivatives
P2 u' d' f' b' r' l'→ Reverse and its symmetries
P2 u' d' f' b' r' l' u- d- f- b- r- l-

u' d' f' b' r' l'

R' L' F' L' D' F' L' F U B' L' U' R' U F' L' U' B U R U F U B'
R' L' F' R' U' F' R' F D B' R' D' L' D F' R' D' B D L D F D B'
R' L' F' U B U R U F U' L' B' U R' U' L' F' U B L' B' D' L' B'
R' L' F' D B D L D F D' R' B' D L' D' R' F' D B R' B' U' R' B'
R' L' B' L' U' B' L' B D F' L' D' R' D B' L' D' F D R D B D F'
R' L' B' R' D' B' R' B U F' R' U' L' U B' R' U' F U L U B U F'
R' L' B' U F U L U B U' R' F' U L' U' R' B' U F R' F' D' R' F'
R' L' B' D F D R D B D' L' F' D R' D' L' B' D F L' F' U' L' F'
R' L' U' L' F' U' L' U B D' L' B' R' B U' L' B' D B R B U B D'
R' L' U' R' B' U' R' U F D' R' F' L' F U' R' F' D F L F U F D'
R' L' U' F D F L F U F' R' D' F L' F' R' U' F D R' D' B' R' D'
R' L' U' B D B R B U B' L' D' B R' B' L' U' B D L' D' F' L' D'
R' L' D' L' B' D' L' D F U' L' F' R' F D' L' F' U F R F D F U'
R' L' D' R' F' D' R' D B U' R' B' L' B D' R' B' U B L B D B U'
R' L' D' F U F R F D F' L' U' F R' F' L' D' F U L' U' B' L' U'
R' L' D' B U B L B D B' R' U' B L' B' R' D' B U R' U' F' R' U'
F' B' L' B' D' L' B' L U R' B' U' F' U L' B' U' R U F U L U R'
F' B' L' F' U' L' F' L D R' F' D' B' D L' F' D' R D B D L D R'
F' B' L' U R U F U L U' B' R' U F' U' B' L' U R B' R' D' B' R'
F' B' L' D R D B D L D' F' R' D B' D' F' L' D R F' R' U' F' R'
F' B' R' F' D' R' F' R U L' F' U' B' U R' F' U' L U B U R U L'
F' B' R' B' U' R' B' R D L' B' D' F' D R' B' D' L D F D R D L'
F' B' R' U L U B U R U' F' L' U B' U' F' R' U L F' L' D' F' L'
F' B' R' D L D F D R D' B' L' D F' D' B' R' D L B' L' U' B' L'
F' B' U' F' R' U' F' U L D' F' L' B' L U' F' L' D L B L U L D'
F' B' U' B' L' U' B' U R D' B' R' F' R U' B' R' D R F R U R D'
F' B' U' L D L B L U L' F' D' L B' L' F' U' L D F' D' R' F' D'
F' B' U' R D R F R U R' B' D' R F' R' B' U' R D B' D' L' B' D'
F' B' D' F' L' D' F' D R U' F' R' B' R D' F' R' U R B R D R U'
F' B' D' B' R' D' B' D L U' B' L' F' L D' B' L' U L F L D L U'
F' B' D' L U L F L D L' B' U' L F' L' B' D' L U B' U' R' B' U'
F' B' D' R U R B R D R' F' U' R B' R' F' D' R U F' U' L' F' U'
U' D' L' F R F D F L F' U' R' F D' F' U' L' F R U' R' B' U' R'
U' D' L' B R B U B L B' D' R' B U' B' D' L' B R D' R' F' D' R'
U' D' L' U' B' L' U' L F R' U' F' D' F L' U' F' R F D F L F R'
U' D' L' D' F' L' D' L B R' D' B' U' B L' D' B' R B U B L B R'
U' D' R' F L F U F R F' D' L' F U' F' D' R' F L D' L' B' D' L'
U' D' R' B L B D B R B' U' L' B D' B' U' R' B L U' L' F' U' L'
U' D' R' U' F' R' U' R B L' U' B' D' B R' U' B' L B D B R B L'
U' D' R' D' B' R' D' R F L' D' F' U' F R' D' F' L F U F R F L'
U' D' F' L B L U L F L' D' B' L U' L' D' F' L B D' B' R' D' B'
U' D' F' R B R D R F R' U' B' R D' R' U' F' R B U' B' L' U' B'
U' D' F' U' L' F' U' F R B' U' R' D' R F' U' R' B R D R F R B'
U' D' F' D' R' F' D' F L B' D' L' U' L F' D' L' B L U L F L B'
U' D' B' L F L D L B L' U' F' L D' L' U' B' L F U' F' R' U' F'
U' D' B' R F R U R B R' D' F' R U' R' D' B' R F D' F' L' D' F'
U' D' B' U' R' B' U' B L F' U' L' D' L B' U' L' F L D L B L F'
U' D' B' D' L' B' D' B R F' D' R' U' R B' D' R' F R U R B R F'
R F2 U2 D2 B2 L' F2 R2 B2 D' B L2 U2 D2 R2 F' L2 B2 R2 U'
R B2 U2 D2 F2 L' B2 R2 F2 U' F L2 U2 D2 R2 B' L2 F2 R2 D'
R U2 F2 B2 D2 L' U2 R2 D2 F' D L2 F2 B2 R2 U' L2 D2 R2 B'
R D2 F2 B2 U2 L' D2 R2 U2 B' U L2 F2 B2 R2 D' L2 U2 R2 F'
R' U2 B2 D2 F' U2 R2 L2 D2 B L' B2 U2 F2 D' B2 R2 L2 F2 U
R' D2 F2 U2 B' D2 R2 L2 U2 F L' F2 D2 B2 U' F2 R2 L2 B2 D
L F2 U2 D2 B2 R' F2 L2 B2 U' B R2 U2 D2 L2 F' R2 B2 L2 D'
L B2 U2 D2 F2 R' B2 L2 F2 D' F R2 U2 D2 L2 B' R2 F2 L2 U'
L U2 F2 B2 D2 R' U2 L2 D2 B' D R2 F2 B2 L2 U' R2 D2 L2 F'
L D2 F2 B2 U2 R' D2 L2 U2 F' U R2 F2 B2 L2 D' R2 U2 L2 B'
L' U2 F2 D2 B' U2 R2 L2 D2 F R' F2 U2 B2 D' F2 R2 L2 B2 U
L' D2 B2 U2 F' D2 R2 L2 U2 B R' B2 D2 F2 U' B2 R2 L2 F2 D
F U2 R2 L2 D2 B' U2 F2 D2 L' D B2 R2 L2 F2 U' B2 D2 F2 R'
F D2 R2 L2 U2 B' D2 F2 U2 R' U B2 R2 L2 F2 D' B2 U2 F2 L'
F' R2 D2 L2 U' R2 F2 B2 L2 D B' D2 R2 U2 L' D2 F2 B2 U2 R
F' L2 U2 R2 D' L2 F2 B2 R2 U B' U2 L2 D2 R' U2 F2 B2 D2 L
B U2 R2 L2 D2 F' U2 B2 D2 R' D F2 R2 L2 B2 U' F2 D2 B2 L'
B D2 R2 L2 U2 F' D2 B2 U2 L' U F2 R2 L2 B2 D' F2 U2 B2 R'
B' L2 D2 R2 U' L2 F2 B2 R2 D F' D2 L2 U2 R' D2 F2 B2 U2 L
B' R2 U2 L2 D' R2 F2 B2 L2 U F' U2 R2 D2 L' U2 F2 B2 D2 R
U' L2 B2 R2 F' L2 U2 D2 R2 B D' B2 L2 F2 R' B2 U2 D2 F2 L
U' F2 L2 B2 R' F2 U2 D2 B2 L D' L2 F2 R2 B' L2 U2 D2 R2 F
D' F2 R2 B2 L' F2 U2 D2 B2 R U' R2 F2 L2 B' R2 U2 D2 L2 F
D' R2 B2 L2 F' R2 U2 D2 L2 B U' B2 R2 F2 L' B2 U2 D2 F2 R
Order
4
Symmetries
48→ all 23 Rotations Reverse+ all 9 Reflections Reverse+ all 15 Rotoreflections
Derivatives
P1 u d f b r l → Reverse and its symmetries
P3 u d f' b' r' l' u+ d+ f- b- r- l-

u d f' b' r' l'

R L F U' D' B' R L F' U' D' B R L F' U' D' B'
R L B U' D' F' R L B' U' D' F R L B' U' D' F'
Order
4
Symmetries
16→ y y2 y' x2 z2 FR FL Reverse+ any: M E S RF RL Mx2 Ey Ey'
Derivatives
P4 u' d' f b r l → Reverse and all its symmetries
P4 u' d' f b r l u- d- f+ b+ r+ l+

u' d' f b r l

R' L' F' U D B R' L' F U D B' R' L' F U D B
R' L' B' U D F R' L' B U D F' R' L' B U D F
Order
4
Symmetries
16→ y y2 y' x2 z2 FR FL Reverse+ any: M E S RF RL Mx2 Ey Ey'
Derivatives
P3 u' d' f b r l → Reverse and all its symmetries
P5 u d' f b' r l u+ d- f+ b- r+ l+

u d' f b' r l

F B R2 U F2 U2 D' L2 F B R' U' D' F2 B D2 F' U' D' L'
F' B' U2 D B2 U' F' B' R' U D L2 F U2 F2 B' R2 U D L'
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
P6 u' d f' b r' l' → M FU Reverse Reverse+ UF
P6 u' d f' b r' l' u- d+ f- b+ r- l-

u' d f' b r' l'

F B U2 D' B2 U F B L U' D' R2 F' U2 F2 B L2 U' D' R
F' B' L2 U' F2 U2 D R2 F' B' L U D F2 B' D2 F U D R
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
P5 u d' f b' r l → M FU Reverse Reverse+ UF
P7 u d' f b' r l' u+ d- f+ b- r+ l-

u d' f b' r l'

R L' F' U D' L F B' U' R L' B U D' R' F B' D
R' L F B' R L' F B' R' L U' F' B U2 D2 F' B R2 L2 D F B'
Order
4
Symmetries
12→ FUR RUF Mx2 LFx LFz' Reverse+ any: RF FU RU FL UB UL
P8 u d' f b r' l' u+ d- f+ b+ r- l-

u d' f b r' l'

R L' D' R L' B U D' R' F B' U F B' R2 L U' D F' B2
R' L D' R' L F U D' L' F' B U F' B R L2 U' D F2 B'
Order
4
Symmetries
8→ y2 Ey Ey' Reverse+ any: M S FR FL
P9 u d' f' b' r' l' u+ d- f- b- r- l-

u d' f' b' r' l'

R L' U' D F B' R U D' F B' R' L F' R L' U D' F' B R F'
R' L U' D F' B L U D' F' B R L' B' R' L U D' F B' L B'
Order
4
Symmetries
8→ y y2 y' Reverse+ any: M S RF LF
Derivatives
P10 u' d f b r l → M S RF LF Reverse+ any: y y2 y'
P10 u' d f b r l u- d+ f+ b+ r+ l+

u' d f b r l

R L' U D' F' B L' U' D F' B R' L F R L' U' D F B' L' F
R' L U D' F B' R' U' D F B' R L' B R' L U' D F' B R' B
Order
4
Symmetries
8→ y y2 y' Reverse+ any: M S RF LF
Derivatives
P9 u d' f' b' r' l' → M S RF LF Reverse+ any: y y2 y'

Q. Two Adjacent Half Turns 10 cases

Q1 u² d f² b r l u++ d+ f++ b+ r+ l+

u² d f² b r l

R L' U D' F' B R L B U' D R' L F B' U2 D F2
R L' U' D B R L F' B U D' R' L F2 U2 D F B'
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
Q2 u² d' f² b' r' l' → M FU Reverse Reverse+ UF
Q2 u² d' f² b' r' l' u++ d- f++ b- r- l-

u² d' f² b' r' l'

R' L F' B U D' R' L' D' F B' R L' U' D F2 B' U2
R' L F B' D' R' L' U D' F' B R L' U2 F2 B' U' D
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
Q1 u² d f² b r l → M FU Reverse Reverse+ UF
Q3 u² d f² b r' l' u++ d- f++ b- r+ l+

u² d f² b r' l'

R' L F' R U' D R L' F' B R' L F' B D' R' L2 F B' U' D
R L' F' B R' L U' D L F' R L' U' D F B' R2 L' D' F' B
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
Q4 u² d' f² b' r l → M FU Reverse Reverse+ UF
Q4 u² d' f² b' r l u++ d- f++ b- r+ l+

u² d' f² b' r l

R' L F L' U D' R L' F B' R' L F B' D R2 L F' B U D'
R L' F B' R' L U D' R' F R L' U D' F' B R L2 D F B'
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
Q3 u² d f² b r' l' → M FU Reverse Reverse+ UF
Q5 u² d f² b' r l' u++ d+ f++ b- r+ l-

u² d f² b' r l'

R L' F B' R L' F' B U' D F U' D R' L F B' D'
F B' U D' R L' U' D R L' B U' D R' L F B' U'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ UF
Derivatives
Q6 u² d' f² b r l' → M Reverse+ FU
Q6 u² d' f² b r l' u++ d- f++ b+ r+ l-

u² d' f² b r l'

R L' F' B R L' F B' U D' F' U D' R' L F' B D
F' B U' D R L' U D' R L' B' U D' R' L F' B U
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ UF
Derivatives
Q5 u² d f² b' r l' → M Reverse+ FU
Q7 u² d f² b r l' u++ d- f++ b+ r+ l-

u² d f² b r l'

R L' U D' F' B R2 F2 R' L' B' U D F2 D2 R' L F' B D'
R L' U D' F' B L2 F2 R L B' U' D' F2 U2 R' L F' B D'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ FU
Derivatives
Q8 u² d f² b' r' l → FU Reverse
Q8 u² d f² b' r' l u++ d+ f++ b- r- l+

u² d f² b' r' l

R L' U2 F2 U D B R' L' F2 L2 F B' U' D R' L D F B'
R L' D2 F2 U' D' B R L F2 R2 F B' U' D R' L D F B'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ FU
Derivatives
Q7 u² d f² b r l' → FU Reverse
Q9 u² d' f² b r l u++ d- f++ b+ r+ l+

u² d' f² b r l

R' L F B' D B2 R L' U' D F' B' R L B U' D' F2 D2
R' L B2 D F B' R L' D2 F2 U' D' B R L F' B' U' D
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
26 u² d f² b' r' l' → M Reverse
Q10 u² d f² b' r' l' u++ d+ f++ b- r- l-

u² d f² b' r' l'

R' L F' B D' B2 R L' U D' F B R' L' B' U D F2 D2
R' L B2 D' F' B R L' D2 F2 U D B' R' L' F B U D'
Order
4
Symmetries
2→ Reverse+ M
Derivatives
25 u² d' f² b r l → M Reverse

R. Two Opposite Half Turns 6 cases

R1 u² d² f b r l u++ d++ f+ b+ r+ l+

u² d² f b r l

R L' F B R' L U2 F B' R L F' B D2
R' L F B R L' U2 F' B R L F B' D2
Order
4
Symmetries
16→ y y2 y' x2 z2 FR FL
Reverse+ any: M E S RF LF Mx2 Ey Ey'
Derivatives
R2 u² d² f' b' r' l' → M E S RF LF Mx2 Ey Ey' Reverse
Reverse+ any: y y2 y' x2 z2 FR FL
R2 u² d² f' b' r' l' u++ d++ f- b- r- l-

u² d² f' b' r' l'

R L' F' B' R' L U2 F' B R' L' F B' D2
R' L F' B' R L' U2 F B' R' L' F' B D2
Order
4
Symmetries
16→ y y2 y' x2 z2 FR FL
Reverse+ any: M E S RF LF Mx2 Ey Ey'
Derivatives
R1 u² d² f b r l → M E S RF LF Mx2 Ey Ey' Reverse
Reverse+ any: y y2 y' x2 z2 FR FL
R3 u² d² f b' r l' u++ d++ f+ b- r+ l-

u² d² f b' r l'

R' L F B' R L' F B' R L' F' B U2 D2
F' B R L' F B' R L' F B' R' L U2 D2
Order
4
Symmetries
8→ LF FR Mx2 Reverse+ any: E RF y2 FL
R4 u² d² f b r' l' u++ d++ f+ b+ r- l-

u² d² f b r' l'

F B' U' D F B' R L' F' B R L' F B R' L U' D F' B R2
F B' U D' F B' R' L F' B R' L F B R L' U D' F' B L2
Order
4
Symmetries
8→ x2 y2 z2 Reverse+ any: M E S Mx2
R5 u² d² f b' r' l' u++ d++ f+ b- r- l-

u² d² f b' r' l'

R L' F' B' R' L U2 F B R' L' F' R L F2 R' L' B' D2
R L' F' B' R' L D2 B' R' L' F2 R L F' R' L' F B U2
Order
4
Symmetries
4→ z2 Reverse+ M Reverse+ E
Derivatives
R6 u² d² f' b r l → M E Reverse Reverse+ z2
R6 u² d² f' b r l u++ d++ f- b+ r+ l+

u² d² f' b r l

R L' F B R' L U2 F' B' R L F R' L' F2 R L B D2
R' L F B R L' D2 F' B' R L F R' L' F2 R L B U2
Order
4
Symmetries
4→ z2 Reverse+ M Reverse+ E
Derivatives
R5 u² d² f b' r' l' → M E Reverse Reverse+ z2

S. Multiple Half Turns 7 cases

S1 u² d f² b r² l² u++ d+ f++ b+ r++ l++

u² d f² b r² l²

F' B U F2 D R2 U' D2 F B U' D F U2 B L2 F' B2 U D
F' B U D F' B2 R2 B U2 F U' D F B U' D2 L2 D F2 U
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
S2 u² d' f² b' r² l² → M FU Reverse Reverse+ UF
S2 u² d' f² b' r² l² u++ d- f++ b- r++ l++

u² d' f² b' r² l²

F B' U' F2 D' L2 U D2 F' B' U D' F' U2 B' R2 F B2 U' D'
F B' U' D' F B2 L2 B' U2 F' U D' F' B' U D2 R2 D' F2 U'
Order
4
Symmetries
4→ UF Reverse+ M Reverse+ FU
Derivatives
S1 u² d f² b r² l² → M FU Reverse Reverse+ UF
S3 u² d' f² b r² l² u++ d- f++ b+ r++ l++

u² d' f² b r² l²

R L' F' B' D F' B' R' L U D R2 F2 B2 L2 F2 B U D
R L' F' B' D F' B' R' L U D F2 B R2 F2 B2 L2 U D
Order
4
Symmetries
4→ FU Reverse+ M Reverse+ UF
S4 u² d² f² b² r l u++ d++ f++ b++ r+ l+

u² d² f² b² r l

F' B' R' U D F2 B2 R2 U' D' L' F B U2 D2 L2
F' B' R' U D L2 F2 B2 U' D' L' F B R2 U2 D2
Order
4
Symmetries
16→ x x2 x' y2 z2 UF UB
Reverse+ any: M E S FU BU Mx Mx2 Mx'
Derivatives
S5 u² d² f² b² r' l' → M E S FU BU Mx Mx2 Mx' Reverse
Reverse+ any: x x2 x' y2 z2 UF UB
S5 u² d² f² b² r' l' u++ d++ f++ b++ r- l-

u² d² f² b² r' l'

F' B' R U D L2 F2 B2 U' D' L F B R2 U2 D2
F' B' R U D F2 B2 R2 U' D' L F B U2 D2 L2
Order
4
Symmetries
16→ x x2 x' y2 z2 UF UB
Reverse+ any: M E S FU BU Mx Mx2 Mx'
Derivatives
S5 u² d² f² b² r' l' → M E S FU BU Mx Mx2 Mx' Reverse
Reverse+ any: x x2 x' y2 z2 UF UB
S6 u² d² f² b² r l' u++ d++ f++ b++ r+ l-

u² d² f² b² r l'

F B U2 D2 F' B' R L2 U D F2 B2 U' D' L
F' B' U2 D2 F B R L2 U' D' F2 B2 U D L
Order
4
Symmetries
16→ M x x2 x' Mx Mx2 Mx'
Reverse+ any: E S FU BU y2 z2 UF UB
S7 u² d² f² b² r² l² u++ d++ f++ b++ r++ l++

u² d² f² b² r² l²

R2 L2 F B R L F2 B2 R' L' U2 D2 F' B'
R2 L2 F' B' R' L' F2 B2 R L U2 D2 F B
Order
2
Symmetries
96→ all 48 Symmetries Reverse+ all 48 Symmetries